Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) la suite définie par \(u_0\in]0,1]\) et par la relation de récurrence : $$u_{n+1}=\frac{u_n}2+\frac{u_n^2}4$$
En sachant que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est monotone et que \(\forall n\in{\Bbb N},0\lt u_n\leqslant1\), démontrer que la suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est convergente et déterminer sa limite
Application du th de la convergence monotone \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) est bornée et monotone, donc elle converge vers \(\ell\in{\Bbb R}\) d'après le théorème de convergence monotone
Faire tendre la relation de récurrence vers l'infini De plus, en faisant tendre la relation de récurrence vers l'infini, on a : $$\begin{align}&\ell=\frac\ell2+\frac{\ell^2}4\\ \implies&1=\frac12+\frac\ell4\\ \implies&-\frac12=\frac\ell4\\ \implies&\ell=2\end{align}$$
Or, ce n'est pas possible vu que \(0\lt u_n\leqslant1\)
Vérifier les valeurs exclues
On a divisé par \(\ell\), et en testant avec \(\ell=0\), la relation de récurrence est vérifiée.
On a donc $$(u_n)_{n\in\Bbb N}\longrightarrow0$$